Coeficientes Bin. Complementares

1. Simplifique a expressão:

B = 7! 4! / 10 (8!/3!5! - 9!/2!7!)
B = 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1! 4. 3. 2. 1 / 10. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 (336/6 - 72/2)
B = 24/720 (56 - 36) = 1 / 30 (20) = 20/30 = 2/3 ou 0,6

2. Calcule a soma dos coeficientes de (x-3y)³
C0,3 + C1,2 + C2, 1 + C3,0 = 1 = 8

3. Determine o valor da expressão x4 - 8x³ y + 24 x² y² - 32x y² + 16y4 para x = 100.000 e y = 50.000
x = 100.000
y =  50.000

(x-2y)4
(100000 - 2. 50000)
0 elevado a 4 = 0

4. Desenvolva e resolva o binômio (√2 + √3)4

1 . √16 . 1 + 4 . √8 . √3 + 6 . √4 . √9 + 4 . √2 . + √27 + 1 . 1 . √81
1 . 4 . 1 + 4 . 2√2 . √3 + 6 . 2 . 3 + 4. √2 . 3√3 + 1 . 1 . 9
4 + 8√6 + 36 + 12 √6 + 9
49 + 20 √6

5. Determine os valores de:

a) (2x+y)elevado a 6 sendo x = y = 1
(2.1 + 1)elevado a 6 = 3 elevado a 6 = 729

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Termo Geral

1. Determine o 6° termo de (x+a) elevado a 10
T5+1 = C10, 5 . x elevado a 10-5 . a elevado a 5
T5 = 252 x elevado a 5 a elevado a elevado a 5

2. No desenvolvimento de (a-1) elevado a 20. obtenha o coeficiente do termo em a17
Tp+1 = C20, p . a 20-p . (-1)p
T3+1 = C20, 3 . a 20-3 . (-1)3
T4 = - 1140 a17 = 17
- p = 3
p = 3

3. Calcule, se existir, o termo independente de x no desenvolvimento de (x + 1/x)7
T+1 = C7, p . x elevado a 7-p . (1/x)p
Tp+1 = C7, p . x elevado a 7-p . x elevado a -p
Tp + 1 = C7, p . x elevado a 7-2p
7-2p = 0
- 2p = 7
p = 7/2 = Não existe o termo independente.

4. Determine o termo independente de x em (x + 1/x)8
Tp+1 = C8, p . x elevado a 8-p . (1/x)p
Tp + 1 = C8, 4 . x elevado a 0
T5 = 70
8 - 2p = 0
- 2p = - 8
p = 4

5. Use a fórmula do binômio para desenvolver cada expressão e simplifique

a) (a-b)4
a4 - 4 a3b + 6 a2b2 - 4 ab3 + b4

b) (a + 2 b)5
a5 + 10 a4b + 40 a3b2 + 80 ab4 + 32 b5

c) (a-√2)6
a6 - 6 √2 a5 + 30 a4 - 40 √2 a3 - 60 a2 - 24 √2 a + 8

d) (a - 2/b)5
a5 - 10 a4/b + 40 a3/b2 - 80 a2/b3 + 80a/b4 - 32/b5

6. Desenvolva (2 - √3)4 usando a fórmula do binômio.
1 . 16 . 1 + 4 . 8 . - √3 + 6 . 4 . 3 + 4 . 2 - 3 √3 + 1 . 1 . 9
16 - 32 √3 + 72 - 24 √3 + 9
97 - 56 √3

7. Qual é o coeficiente numérico do termo em x3y5 no desenvolvimento de (2x + 2y)10?
Tp+1 = C8, p (2x)8-p . (-y)p
T5+1 = C8, 5 (2x)3 . (-y)5
T6 = 56 . 8x3 - y5
T6 = 448 x3y5
8 - p = 3
- p = - 5
p = 5

1. Determine a raiz das equações.

a) 8-x = 2+x
8-2 = x²

b) 3 (x-6) = 5x
3x-18 = 5x
-18 = 2x
x = -18/2
x = -9

c) 2/3x + 1/4 x = 6
2/3 x + x/4 = 6/1
8x + 3x/12 = 72
11x = 72
x = 72/11

d) 2x-1/10 - 2 = 1/5 - 1+x/4
4x - 2 - 40 = 4 . 5 (1+x)
4x - 2 - 40 = 4 - 5-5x
4x + 5x = 4 - 5 + 2 + 40
9x = 41
x = 41/9

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2. Calcule as expressões usando produtos notáveis.

a) (3x+2)²
9x² + 12x + 4

b) (4x+3)³
(4x)³ + 3 (4x)² . 3 + 3.4x. (3)² + (3)³
64x³ + 3.16x² . 3 + 3.4x . 9 + 27
64x³ + 144x² + 108x + 27

c) (2x-6)²
(2x)² - 2 . 2x . - 6 + 6²
4x² + 24x + 36

d) (x-3)³
x² - 3 . x² . (-3) + 3 . x . (-3)² - (-3)³
x³ + 9x² + 27x + 27


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Raiz

Raiz de 529 = 23

Raiz de 4096 = 64

Raiz de 6084 = 78

Raiz de 9801 = 99

Raiz de 1225 = 35

Raiz de 729 = 27

Raiz de 4624 = 68

Raiz de 64516 = 254

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Fatorial

4! = 4.3.2.1 = 24

7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040

3!.2! = 3.2.1 . 2.1 = 6.2 = 12

5!+2! = 5.4.3.2.1 + 2.1 = 120 + 20 = 122

6!+3!-2! = 6.5.4.3.2.1 + 3.2.1 - 2.1/5.4.3.2.1 = 720 + 6.2

4!-2!-0!/1! = 4.3.2.1 - 2.1 - 1/1 = 24 - 2 - 1/1 = 21

12!/9! = 12.11.10.9!/9! = 1320

7!.4!/10! = 7! 4.3.2.1/10.9.8.7! = 24/720 = 1/30

105!/104! = 105.104/104 = 105

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n!/(n-1) = n

n!/(n-2) = n² - n

n!(n+2) = n² + n

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10!+8!/8! = 10.9.8! + 8!/8! = 90 + 1 = 91

100!/99! - 99!/98! = 100 - 99!/99 - 99 . 98!/98! = 100 - 99 = 1

(m+2)/m = (m+2) (m+1) m!/m! = m² + 3m + 2

(2n+1)!/(2n-1)! = (2n + 1) 2n (2n - 1)/(2n - 1)! = 4n² + 2n

(1/n! - 1/(n+1)) . n! = n!/n! = n!/(n+1)! = 1 - n! / (n+1)! = 1 - n (n+1)!/(n+1) = 1 - n

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Equações Fatoriais

a) x! = 15 (x-1)!

x (x-1)!/(x-1) = 15

x = 15

b) (n-2)! = 2 (n-4)!

(n-2)!/(n-4)! = 2

n² - 3n - 2n + 6 = 2

n² - 5n + 4 = 0

Δ = -5² - 4 . 1 . 4

Δ = 25 - 16

Δ = 9

5 +- √9/2 = 5 + 3/2 = 8/2 = 4

              = 2/2 = 1

c) (x+1)!/(x-1) = 56

(x+1) x = 56

x² + x - 56 = 0

Δ = b² - 4. a . c

Δ = 1² - 4 . 1² . 56

Δ = 2 - 4 . 2 . 56

Δ = 2 . 2 . 56

Δ = 4. 56

Δ = 225

-1 +- √225/2.2 = -1 +- √15/4 =  32

                                         =  -7

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Binômio de Newton

a) (8/5) = 8! / 5!(8-5!) = 8! / 5!3! = 8.7.6.5! / 5! 3.2.1 = 336/6 = 56

b) (6/0) = 6! / 0!(6-0) = 6! / 0!6! = 6.5.4.3.2.1.0 / 0! 6.5.4.3 = 0

c) (7/2) = 7! / 2!(7-2) = 7! / 2! 5! = 7.6.5.4.3.2 / 2! 5.4.3.2 = 2520/60 = 42

d) (3!)!/3! = 3.2.1! / 3 = 6! / 3! = 6.5.4.3! / 3! = 120

e) (5/3) = 5! / 3! (3-5) = 5.4.3! / 3! 2! = 20 / 2 = 10

f) (4/2) = 4! / 2! (4-2) = 4.3.2 / 2! 2! = 12 / 2 = 6

g) (25/23) = 25! / 23! (25-23)! = 25 . 24 . 23 / 23! 2! = 600 / 2 = 300

h) (100/99) = 100! / 99! (100 - 99)! = 100 . 99 / 99! . 1! = 100