Prisma

1. Um prisma hexagonal de h = √3 com r = 2m
Determine: Sb, Sl, St e V

Sb -> 6 Δ equilateros
SΔ = 2²√3/4 = 4√3/4 = √3

Sb = 6√3 m²
b . h = 2√3 m²
Sl = 6 . 2 √3 = 12√3 m²
St = 2 . 6 √3 + 12√3
St = 12 √3 + 12√3
St = 24√3 m²

V = Sb . h
V = 6√3 . √3
V = 18 m8


=================


2. O volume de um cubo é 512cm³. Calcule uma área total e sua diagonal.
3√512 = 8cm                D = 8√3


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3. As arestas de um paralelepipedo reto-retângulo medem 4m, 5m e 8m. Qual é, em litros, o seu volume?
V = 4 . 5 . 8
V = 160 m²
V = 160.000L

=================

4. Qual a área da base, a área lateral, a área total e o volume de um prisma de altura 8cm e cuja base é um triângulo retângulo de catetos 3cm e 4cm?

c = √a² + b² = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5cm
Sb = a . b / 2 = 4 . 3 / 2 = 12/2 = 6cm²
Sl = a . h + b . h + c . h
Sl = h . (a + b + c)
Sl = 8 . (3 + 4 + 5)
Sl = 8 . 12
Sl = 96cm²
St = 2 . Sb + Sl = 2 . 6 + 96 = 108cm²

V = Sb . h
V = 6 . 8
V = 48cm³                =========> Sb = 6cm² , Sl = 96cm² , St = 108cm² , V = 48cm²

=======================

4. A altura de um prisma triangular é igual a 10cm. Calcule a área lateral, a área total e o volume desse prisma sabendo-se que o perimetro da base é igual a 18cm.
Sb = L² √3/4                            St = Sb + Sl
Sb = 6² √3/4                            St = 18√3 + 180cm²
Sb = 36 √3/4                           V = b. h
Sb = 9√3                                 V = 9√3 . 10
Sb = 18√3cm²                         V = 90√3 cm²


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5. Um prisma triangular tem 4 cm de altura. Calcule o volume, sabendo-se que a aresta da base desse prisma mede 2cm.

V = Sb . h
V = a².√3/4 . h
V = 2².√3/4 . 4
V = 4√3 cm³

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6. Calcule a diagonal, área total e o volume de um cubo de aresta igual a 4 cm.

St= 6a²
St= 6 . 4²
St= 6 .16
St= 96cm²

V = a³
V = 4³
V = 64cm³

D = a . V3
D = 4V3cm

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7. Calcule a diagonal, a area total e o volume desse paralelepipedo sabendo-se que a altura e igual a 6cm?

D² =a² + a²
D² =2a²
D =a. 2^1/2
D² =d²+h²
D² =(a . 2^1/2)²+h²
D² =2a²+h²
D² =2. 4²+6²
D² = 32 + 36=68
D = 2 . 17^1/2cm

S= 4 . (4 . 6) +2 . (4 . 4)=
S= 4 . 24 + 2 . 16
S= 96 + 32 = 128 cm²

V = Sb . h

V = 16 . 6 = 96cm³

=================

8. Se o volume do cubo é 27cm³, calcule a aresta e a área desse cubo.

V = 27
V = a³
27 = a³
3³ = a³
S = 3cm 
St = 6 . a²
St = 6 . (3)²
St = 54cm²

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9. Se a área total de um cubo é 150m², calcule a aresta e o volume desse cubo.

S = 6a²
150 = 6a²
150 / 6 = a² 
25 = a²
√25 = a
S = 5m

V = a³
V = 5³
V = 125 m³

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10. Numa pirâmide quadrangular, a aresta da base mede 8cm. Sua altura mede 3 cm, calcule sua área total.

l = 8cm
h = 3cm
St = ?

Sl = l . g/2
Sl = 8 . 5/2 = 20cm²

Sb = l . l
Sb = 8 . 8 = 64 cm²

m = l/2
m = 8/2 = 4

St = 64 + 4 . 20
St = 64 + 80 = 144 cm²

g² = h² + m²
g² = 9 + 16
g² = 25 = 5cm

Escalonamento

1. { 4x - 2y = 8 }
    { x + 5y = 9  }

4x - 2y = 8              +
4x - 20y = 36        
_________________
      -22y = 44
           y = -2

4x - 2y = 8
4x - 2 . -2 - 8
4x + 4 = 8
4x = 4
x = 1                                    S = { 1; -2}

==================


2. {x + y + 2z = 13}
    {    2y + z = 4    }
    {            3z = 6  }

2y + 2 = 4            x + 1 + 4 = 13
2y = 2                  x = 8
y = 1

S = { 8; 1 ; 2}



==================
3. { x + 2y - 3z = -5 }
   { 2x - 3y + z = 9   }
   { 3x - y + 3z = 8   }

x + 2y - 2z = -5
2x - 3y + z = 9

-2x - 4y + 4z = 10
2x - 3y + z = 9                            ======> -7 y + 5z = 19

x + 2y - 2z = -5
3x - y + 3z = 8

-3x - 6y + 6z = 15
3x - y + 3z = 8          ========> -7y + 4z = 23

-7y + 5z = 19
-7y + 9z = 23

7y - 5z = -19
-7y + 9z = 23    ==========> 4z = 4

4z = 4
z = 1
-7 + 5z = 19
-7y = 14
y = -2

x - 4 - 2 = -5
x = 1                                   S = { 1; -2 ; 1}

Pirâmides

1. Considere uma pirâmide regular de base quadrada. Sabendo que o lado da base mede 12 cm e a altura da pirâmide mede 8cm, calcule:
a) a área da base
Sb = 12²
Sb = 144cm²

b) a área lateral
g² = h² + m²
g² = 8² + (a/2)²
g² = 64 + 6²
g²= 100
g=10

Al= 4 (a .g /2)
Al= 4 (12 . 10/2)
Al=240cm²

c) a área total
Sb + Sl
144 + 240 = 384cm²

2. Considere a pirâmide regular quadrada com lado da base 12cm e altura 4cm, calcule:
a) a medida do apótema da base
b) a medida do apótema da pirâmide
c) a medida da aresta lateral
d) a área da pirâmide

3. Numa pirâmide de base triangular de aresta da base 2√3cm e altura mede 4 cm, calcule:
a) o apótema da base
b) o apótema da pirâmide
c) a aresta lateral
d) a área lateral
e) a área total da pirâmide

4. Numa pirâmide de base quadrangular, a medida do perímetro da base é 40cm. Sabendo que a altura da pirâmide é 12cm, calcule a área lateral dessa pirâmide.

5. Considere uma pirâmide hexagonal regular de 6cm de altura e aresta da base com 8cm, calcule:
a) o apótema da base
b) o apótema da pirâmide
c) a aresta lateral
d) a área total da pirâmide

6. Uma pirâmide quadrangular tem todas as arestas iguais, sendo a área da base 16cm². Qual sua altura?
a² = 16                                             aΔ = 4 . 2√3/2
a = 4cm                                           aΔ = 4√3
4² = 2² + h²
16 = 4+h
h² = 16 - 4
h = 12
h = 2√3

7. A aresta de um tetraedro regular mede 15cm. Calcule a medida h da altura

8. Num tetraedro regular, a altura mede 2√6 cm. Calcule a área total desse tetraedro.

9. Calcule a aresta de um tetraedro regular de altura √2cm?
√2 = a√6/3 => 3√2 = a√6 => a = 3√2/√6 - √6/√6
3√13/6 = 6√3/6 = √3

10. Sabendo que o apótema de um tetraedro regular mede 4√3cm, calcule:
a) a medida da aresta do tetraedro
4√3 = a√3/2                         8√3/√3 = a8√3 = a√3                            a = 8

b) a área total do tetraedro

St = a²√3 

St = 64√3

11. A soma das medidas de todas as arestas de um tetraedro regular é 72cm. Calcule a medida h da altura desse tetraedro.

12. A base de uma pirâmide de 5cm de altura é um quadrado de √3cm de lado. Calcule o volume da pirâmide.

Cramer e Sistema Linear

1. Das eq. abaixo, qual é linear:

a) x + y - 2 = z                            ----------> Eq. linear não possui. Ex: 2x², 3xy, 4x elevado a -1
b) x¹ + 1/x2 = 8                          
c) -1/2 xy + z = 5

2. Seja a eq. linear x1 + 2x - 4x3 + x4 = 3
a) Verifique se (3, 2, 1, 0) é solução da eq.
3 + 2 . 2 - 4 . 1 + 0 = 3
3 = 3                                                            -----> Se ficar igual é que pertencem.

b) Verifique se (4, -2, 1, 3) é solução da eq.
4 - 2 . 2 - 4 . 1 + 3

=============

3. Sabendo que (1, -2) é solução do sistema: 
(a+3) x - 3y = 8
4x - (2b + 3) y = 18

(a+3) 1 - 3 . - 2 = 8
4 . 1 - (2b + 3) . - 2 = 18

a + 3 + 6 = 8
4 - (-4b - 6) = 18

a + 3 + 6 = 8
4 + 4b + 6 = 18

a + 9 = 8 => a = -1
4b + 10 = 18 => b = 8/4 = 2

=============

4. Resolva: 3x + 2y + z = 1
                x - y + 5z = 2
                2x + y = 3

D = | 3  2  1 | = 0 + 1 + 20 + 2 - 15 - 0 = 8
       | 1 -1 5 |
       | 2  1  0 |

Dx = |  1  2  1 |
         | -2 -1 5 |
         |  3  1  0 |

=============
5. Use a regra de Cramer p/ resolver os sistemas:

a) x - 8y = 5
   3x + 9y = 11

D = | 1 - 8 | = 9 + 24 = 33
       | 3    9 |

Dx = | 5   -8 | = 45 + 88 = 133
         | 11  9 |

Dy = | 1   5 | = 11 - 15 = -4
         | 3  11|

x = Dx / D = 133 / 33
y = Dy / D = -4 / 33


b) 2x - 3y = 1
    5x - 7y = 3

D = 2  -3 = -14 + 15 = 1
       5  -7

Dx = 1 -3 = - 7 + 9 = 2
        3  -7

Dy = 2   1 = 6 - 5 = 1
         5   3

x = 2/1 = 2
y = 1/1 = 1

Coeficientes Bin. Complementares

1. Simplifique a expressão:

B = 7! 4! / 10 (8!/3!5! - 9!/2!7!)
B = 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1! 4. 3. 2. 1 / 10. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 (336/6 - 72/2)
B = 24/720 (56 - 36) = 1 / 30 (20) = 20/30 = 2/3 ou 0,6

2. Calcule a soma dos coeficientes de (x-3y)³
C0,3 + C1,2 + C2, 1 + C3,0 = 1 = 8

3. Determine o valor da expressão x4 - 8x³ y + 24 x² y² - 32x y² + 16y4 para x = 100.000 e y = 50.000
x = 100.000
y =  50.000

(x-2y)4
(100000 - 2. 50000)
0 elevado a 4 = 0

4. Desenvolva e resolva o binômio (√2 + √3)4

1 . √16 . 1 + 4 . √8 . √3 + 6 . √4 . √9 + 4 . √2 . + √27 + 1 . 1 . √81
1 . 4 . 1 + 4 . 2√2 . √3 + 6 . 2 . 3 + 4. √2 . 3√3 + 1 . 1 . 9
4 + 8√6 + 36 + 12 √6 + 9
49 + 20 √6

5. Determine os valores de:

a) (2x+y)elevado a 6 sendo x = y = 1
(2.1 + 1)elevado a 6 = 3 elevado a 6 = 729

=========================================

Termo Geral

1. Determine o 6° termo de (x+a) elevado a 10
T5+1 = C10, 5 . x elevado a 10-5 . a elevado a 5
T5 = 252 x elevado a 5 a elevado a elevado a 5

2. No desenvolvimento de (a-1) elevado a 20. obtenha o coeficiente do termo em a17
Tp+1 = C20, p . a 20-p . (-1)p
T3+1 = C20, 3 . a 20-3 . (-1)3
T4 = - 1140 a17 = 17
- p = 3
p = 3

3. Calcule, se existir, o termo independente de x no desenvolvimento de (x + 1/x)7
T+1 = C7, p . x elevado a 7-p . (1/x)p
Tp+1 = C7, p . x elevado a 7-p . x elevado a -p
Tp + 1 = C7, p . x elevado a 7-2p
7-2p = 0
- 2p = 7
p = 7/2 = Não existe o termo independente.

4. Determine o termo independente de x em (x + 1/x)8
Tp+1 = C8, p . x elevado a 8-p . (1/x)p
Tp + 1 = C8, 4 . x elevado a 0
T5 = 70
8 - 2p = 0
- 2p = - 8
p = 4

5. Use a fórmula do binômio para desenvolver cada expressão e simplifique

a) (a-b)4
a4 - 4 a3b + 6 a2b2 - 4 ab3 + b4

b) (a + 2 b)5
a5 + 10 a4b + 40 a3b2 + 80 ab4 + 32 b5

c) (a-√2)6
a6 - 6 √2 a5 + 30 a4 - 40 √2 a3 - 60 a2 - 24 √2 a + 8

d) (a - 2/b)5
a5 - 10 a4/b + 40 a3/b2 - 80 a2/b3 + 80a/b4 - 32/b5

6. Desenvolva (2 - √3)4 usando a fórmula do binômio.
1 . 16 . 1 + 4 . 8 . - √3 + 6 . 4 . 3 + 4 . 2 - 3 √3 + 1 . 1 . 9
16 - 32 √3 + 72 - 24 √3 + 9
97 - 56 √3

7. Qual é o coeficiente numérico do termo em x3y5 no desenvolvimento de (2x + 2y)10?
Tp+1 = C8, p (2x)8-p . (-y)p
T5+1 = C8, 5 (2x)3 . (-y)5
T6 = 56 . 8x3 - y5
T6 = 448 x3y5
8 - p = 3
- p = - 5
p = 5

1. Determine a raiz das equações.

a) 8-x = 2+x
8-2 = x²

b) 3 (x-6) = 5x
3x-18 = 5x
-18 = 2x
x = -18/2
x = -9

c) 2/3x + 1/4 x = 6
2/3 x + x/4 = 6/1
8x + 3x/12 = 72
11x = 72
x = 72/11

d) 2x-1/10 - 2 = 1/5 - 1+x/4
4x - 2 - 40 = 4 . 5 (1+x)
4x - 2 - 40 = 4 - 5-5x
4x + 5x = 4 - 5 + 2 + 40
9x = 41
x = 41/9

===================================

2. Calcule as expressões usando produtos notáveis.

a) (3x+2)²
9x² + 12x + 4

b) (4x+3)³
(4x)³ + 3 (4x)² . 3 + 3.4x. (3)² + (3)³
64x³ + 3.16x² . 3 + 3.4x . 9 + 27
64x³ + 144x² + 108x + 27

c) (2x-6)²
(2x)² - 2 . 2x . - 6 + 6²
4x² + 24x + 36

d) (x-3)³
x² - 3 . x² . (-3) + 3 . x . (-3)² - (-3)³
x³ + 9x² + 27x + 27


==========================

Raiz

Raiz de 529 = 23

Raiz de 4096 = 64

Raiz de 6084 = 78

Raiz de 9801 = 99

Raiz de 1225 = 35

Raiz de 729 = 27

Raiz de 4624 = 68

Raiz de 64516 = 254

==========================

Fatorial

4! = 4.3.2.1 = 24

7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040

3!.2! = 3.2.1 . 2.1 = 6.2 = 12

5!+2! = 5.4.3.2.1 + 2.1 = 120 + 20 = 122

6!+3!-2! = 6.5.4.3.2.1 + 3.2.1 - 2.1/5.4.3.2.1 = 720 + 6.2

4!-2!-0!/1! = 4.3.2.1 - 2.1 - 1/1 = 24 - 2 - 1/1 = 21

12!/9! = 12.11.10.9!/9! = 1320

7!.4!/10! = 7! 4.3.2.1/10.9.8.7! = 24/720 = 1/30

105!/104! = 105.104/104 = 105

==========================

n!/(n-1) = n

n!/(n-2) = n² - n

n!(n+2) = n² + n

==========================

10!+8!/8! = 10.9.8! + 8!/8! = 90 + 1 = 91

100!/99! - 99!/98! = 100 - 99!/99 - 99 . 98!/98! = 100 - 99 = 1

(m+2)/m = (m+2) (m+1) m!/m! = m² + 3m + 2

(2n+1)!/(2n-1)! = (2n + 1) 2n (2n - 1)/(2n - 1)! = 4n² + 2n

(1/n! - 1/(n+1)) . n! = n!/n! = n!/(n+1)! = 1 - n! / (n+1)! = 1 - n (n+1)!/(n+1) = 1 - n

==========================

Equações Fatoriais

a) x! = 15 (x-1)!

x (x-1)!/(x-1) = 15

x = 15

b) (n-2)! = 2 (n-4)!

(n-2)!/(n-4)! = 2

n² - 3n - 2n + 6 = 2

n² - 5n + 4 = 0

Δ = -5² - 4 . 1 . 4

Δ = 25 - 16

Δ = 9

5 +- √9/2 = 5 + 3/2 = 8/2 = 4

              = 2/2 = 1

c) (x+1)!/(x-1) = 56

(x+1) x = 56

x² + x - 56 = 0

Δ = b² - 4. a . c

Δ = 1² - 4 . 1² . 56

Δ = 2 - 4 . 2 . 56

Δ = 2 . 2 . 56

Δ = 4. 56

Δ = 225

-1 +- √225/2.2 = -1 +- √15/4 =  32

                                         =  -7

==========================

Binômio de Newton

a) (8/5) = 8! / 5!(8-5!) = 8! / 5!3! = 8.7.6.5! / 5! 3.2.1 = 336/6 = 56

b) (6/0) = 6! / 0!(6-0) = 6! / 0!6! = 6.5.4.3.2.1.0 / 0! 6.5.4.3 = 0

c) (7/2) = 7! / 2!(7-2) = 7! / 2! 5! = 7.6.5.4.3.2 / 2! 5.4.3.2 = 2520/60 = 42

d) (3!)!/3! = 3.2.1! / 3 = 6! / 3! = 6.5.4.3! / 3! = 120

e) (5/3) = 5! / 3! (3-5) = 5.4.3! / 3! 2! = 20 / 2 = 10

f) (4/2) = 4! / 2! (4-2) = 4.3.2 / 2! 2! = 12 / 2 = 6

g) (25/23) = 25! / 23! (25-23)! = 25 . 24 . 23 / 23! 2! = 600 / 2 = 300

h) (100/99) = 100! / 99! (100 - 99)! = 100 . 99 / 99! . 1! = 100