Prisma

1. Um prisma hexagonal de h = √3 com r = 2m
Determine: Sb, Sl, St e V

Sb -> 6 Δ equilateros
SΔ = 2²√3/4 = 4√3/4 = √3

Sb = 6√3 m²
b . h = 2√3 m²
Sl = 6 . 2 √3 = 12√3 m²
St = 2 . 6 √3 + 12√3
St = 12 √3 + 12√3
St = 24√3 m²

V = Sb . h
V = 6√3 . √3
V = 18 m8


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2. O volume de um cubo é 512cm³. Calcule uma área total e sua diagonal.
3√512 = 8cm                D = 8√3


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3. As arestas de um paralelepipedo reto-retângulo medem 4m, 5m e 8m. Qual é, em litros, o seu volume?
V = 4 . 5 . 8
V = 160 m²
V = 160.000L

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4. Qual a área da base, a área lateral, a área total e o volume de um prisma de altura 8cm e cuja base é um triângulo retângulo de catetos 3cm e 4cm?

c = √a² + b² = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5cm
Sb = a . b / 2 = 4 . 3 / 2 = 12/2 = 6cm²
Sl = a . h + b . h + c . h
Sl = h . (a + b + c)
Sl = 8 . (3 + 4 + 5)
Sl = 8 . 12
Sl = 96cm²
St = 2 . Sb + Sl = 2 . 6 + 96 = 108cm²

V = Sb . h
V = 6 . 8
V = 48cm³                =========> Sb = 6cm² , Sl = 96cm² , St = 108cm² , V = 48cm²

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4. A altura de um prisma triangular é igual a 10cm. Calcule a área lateral, a área total e o volume desse prisma sabendo-se que o perimetro da base é igual a 18cm.
Sb = L² √3/4                            St = Sb + Sl
Sb = 6² √3/4                            St = 18√3 + 180cm²
Sb = 36 √3/4                           V = b. h
Sb = 9√3                                 V = 9√3 . 10
Sb = 18√3cm²                         V = 90√3 cm²


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5. Um prisma triangular tem 4 cm de altura. Calcule o volume, sabendo-se que a aresta da base desse prisma mede 2cm.

V = Sb . h
V = a².√3/4 . h
V = 2².√3/4 . 4
V = 4√3 cm³

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6. Calcule a diagonal, área total e o volume de um cubo de aresta igual a 4 cm.

St= 6a²
St= 6 . 4²
St= 6 .16
St= 96cm²

V = a³
V = 4³
V = 64cm³

D = a . V3
D = 4V3cm

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7. Calcule a diagonal, a area total e o volume desse paralelepipedo sabendo-se que a altura e igual a 6cm?

D² =a² + a²
D² =2a²
D =a. 2^1/2
D² =d²+h²
D² =(a . 2^1/2)²+h²
D² =2a²+h²
D² =2. 4²+6²
D² = 32 + 36=68
D = 2 . 17^1/2cm

S= 4 . (4 . 6) +2 . (4 . 4)=
S= 4 . 24 + 2 . 16
S= 96 + 32 = 128 cm²

V = Sb . h

V = 16 . 6 = 96cm³

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8. Se o volume do cubo é 27cm³, calcule a aresta e a área desse cubo.

V = 27
V = a³
27 = a³
3³ = a³
S = 3cm 
St = 6 . a²
St = 6 . (3)²
St = 54cm²

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9. Se a área total de um cubo é 150m², calcule a aresta e o volume desse cubo.

S = 6a²
150 = 6a²
150 / 6 = a² 
25 = a²
√25 = a
S = 5m

V = a³
V = 5³
V = 125 m³

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10. Numa pirâmide quadrangular, a aresta da base mede 8cm. Sua altura mede 3 cm, calcule sua área total.

l = 8cm
h = 3cm
St = ?

Sl = l . g/2
Sl = 8 . 5/2 = 20cm²

Sb = l . l
Sb = 8 . 8 = 64 cm²

m = l/2
m = 8/2 = 4

St = 64 + 4 . 20
St = 64 + 80 = 144 cm²

g² = h² + m²
g² = 9 + 16
g² = 25 = 5cm

Escalonamento

1. { 4x - 2y = 8 }
    { x + 5y = 9  }

4x - 2y = 8              +
4x - 20y = 36        
_________________
      -22y = 44
           y = -2

4x - 2y = 8
4x - 2 . -2 - 8
4x + 4 = 8
4x = 4
x = 1                                    S = { 1; -2}

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2. {x + y + 2z = 13}
    {    2y + z = 4    }
    {            3z = 6  }

2y + 2 = 4            x + 1 + 4 = 13
2y = 2                  x = 8
y = 1

S = { 8; 1 ; 2}



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3. { x + 2y - 3z = -5 }
   { 2x - 3y + z = 9   }
   { 3x - y + 3z = 8   }

x + 2y - 2z = -5
2x - 3y + z = 9

-2x - 4y + 4z = 10
2x - 3y + z = 9                            ======> -7 y + 5z = 19

x + 2y - 2z = -5
3x - y + 3z = 8

-3x - 6y + 6z = 15
3x - y + 3z = 8          ========> -7y + 4z = 23

-7y + 5z = 19
-7y + 9z = 23

7y - 5z = -19
-7y + 9z = 23    ==========> 4z = 4

4z = 4
z = 1
-7 + 5z = 19
-7y = 14
y = -2

x - 4 - 2 = -5
x = 1                                   S = { 1; -2 ; 1}

Pirâmides

1. Considere uma pirâmide regular de base quadrada. Sabendo que o lado da base mede 12 cm e a altura da pirâmide mede 8cm, calcule:
a) a área da base
Sb = 12²
Sb = 144cm²

b) a área lateral
g² = h² + m²
g² = 8² + (a/2)²
g² = 64 + 6²
g²= 100
g=10

Al= 4 (a .g /2)
Al= 4 (12 . 10/2)
Al=240cm²

c) a área total
Sb + Sl
144 + 240 = 384cm²

2. Considere a pirâmide regular quadrada com lado da base 12cm e altura 4cm, calcule:
a) a medida do apótema da base
b) a medida do apótema da pirâmide
c) a medida da aresta lateral
d) a área da pirâmide

3. Numa pirâmide de base triangular de aresta da base 2√3cm e altura mede 4 cm, calcule:
a) o apótema da base
b) o apótema da pirâmide
c) a aresta lateral
d) a área lateral
e) a área total da pirâmide

4. Numa pirâmide de base quadrangular, a medida do perímetro da base é 40cm. Sabendo que a altura da pirâmide é 12cm, calcule a área lateral dessa pirâmide.

5. Considere uma pirâmide hexagonal regular de 6cm de altura e aresta da base com 8cm, calcule:
a) o apótema da base
b) o apótema da pirâmide
c) a aresta lateral
d) a área total da pirâmide

6. Uma pirâmide quadrangular tem todas as arestas iguais, sendo a área da base 16cm². Qual sua altura?
a² = 16                                             aΔ = 4 . 2√3/2
a = 4cm                                           aΔ = 4√3
4² = 2² + h²
16 = 4+h
h² = 16 - 4
h = 12
h = 2√3

7. A aresta de um tetraedro regular mede 15cm. Calcule a medida h da altura

8. Num tetraedro regular, a altura mede 2√6 cm. Calcule a área total desse tetraedro.

9. Calcule a aresta de um tetraedro regular de altura √2cm?
√2 = a√6/3 => 3√2 = a√6 => a = 3√2/√6 - √6/√6
3√13/6 = 6√3/6 = √3

10. Sabendo que o apótema de um tetraedro regular mede 4√3cm, calcule:
a) a medida da aresta do tetraedro
4√3 = a√3/2                         8√3/√3 = a8√3 = a√3                            a = 8

b) a área total do tetraedro

St = a²√3 

St = 64√3

11. A soma das medidas de todas as arestas de um tetraedro regular é 72cm. Calcule a medida h da altura desse tetraedro.

12. A base de uma pirâmide de 5cm de altura é um quadrado de √3cm de lado. Calcule o volume da pirâmide.

Cramer e Sistema Linear

1. Das eq. abaixo, qual é linear:

a) x + y - 2 = z                            ----------> Eq. linear não possui. Ex: 2x², 3xy, 4x elevado a -1
b) x¹ + 1/x2 = 8                          
c) -1/2 xy + z = 5

2. Seja a eq. linear x1 + 2x - 4x3 + x4 = 3
a) Verifique se (3, 2, 1, 0) é solução da eq.
3 + 2 . 2 - 4 . 1 + 0 = 3
3 = 3                                                            -----> Se ficar igual é que pertencem.

b) Verifique se (4, -2, 1, 3) é solução da eq.
4 - 2 . 2 - 4 . 1 + 3

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3. Sabendo que (1, -2) é solução do sistema: 
(a+3) x - 3y = 8
4x - (2b + 3) y = 18

(a+3) 1 - 3 . - 2 = 8
4 . 1 - (2b + 3) . - 2 = 18

a + 3 + 6 = 8
4 - (-4b - 6) = 18

a + 3 + 6 = 8
4 + 4b + 6 = 18

a + 9 = 8 => a = -1
4b + 10 = 18 => b = 8/4 = 2

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4. Resolva: 3x + 2y + z = 1
                x - y + 5z = 2
                2x + y = 3

D = | 3  2  1 | = 0 + 1 + 20 + 2 - 15 - 0 = 8
       | 1 -1 5 |
       | 2  1  0 |

Dx = |  1  2  1 |
         | -2 -1 5 |
         |  3  1  0 |

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5. Use a regra de Cramer p/ resolver os sistemas:

a) x - 8y = 5
   3x + 9y = 11

D = | 1 - 8 | = 9 + 24 = 33
       | 3    9 |

Dx = | 5   -8 | = 45 + 88 = 133
         | 11  9 |

Dy = | 1   5 | = 11 - 15 = -4
         | 3  11|

x = Dx / D = 133 / 33
y = Dy / D = -4 / 33


b) 2x - 3y = 1
    5x - 7y = 3

D = 2  -3 = -14 + 15 = 1
       5  -7

Dx = 1 -3 = - 7 + 9 = 2
        3  -7

Dy = 2   1 = 6 - 5 = 1
         5   3

x = 2/1 = 2
y = 1/1 = 1